函数f(x)=x22x在x=0处的n阶导数f(n)(0)=________．

admin2022-09-22 29

问题函数f(x)=x²2^x在x=0处的n阶导数f⁽ⁿ⁾(0)=________．

选项

答案n(n-1)(ln 2)^n-2

解析解法一利用莱布尼茨公式(求函数乘积的高阶导数)求解．
f⁽ⁿ⁾(x)=

C_n^k(x²)^(k)(2^x)^(n-k)．
注意到(x²)^(k)｜_x=0=0(k≠2)，则有
f⁽ⁿ⁾(0)=C_n²2(2^x)^(n-2)｜_x=0=

2(In 2)^n-2=n(n-1)(ln 2)^n-2(n≥2)．
又f’(0)=0，因此f⁽ⁿ⁾(0)=n(n-1)(In 2)^n-2(n=1，2，3…)．
解法二利用泰勒展开公式求解
f(x)=x²2^x=x²e^{x ln 2}=

由逐项求导公式，可得f⁽ⁿ⁾(0)=

·n!=n(n-1)(ln 2)^n-2(n≥2)．
又f’(0)=0，因此f⁽ⁿ⁾(0)=n(n-1)(ln 2)^n-2(n=1，2，3…)．

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考研数学二

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