[2016年] 设函数fi(x)(i=l,2)具有二阶连续导数,且f″i(x0)<0(i=1,2), 若两条曲线y=fi(x)(i=1,2)在点(x0,y0)处具有公切线y=g(x),且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率,则在x

admin2021-01-19  40

问题 [2016年]  设函数fi(x)(i=l,2)具有二阶连续导数,且f″i(x0)<0(i=1,2),
若两条曲线y=fi(x)(i=1,2)在点(x0,y0)处具有公切线y=g(x),且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率,则在x0的某个邻域内,有(    ).

选项 A、f1(x)≤f2(x)≤g(x)
B、f2(x)≤f1(x)≤g(x)
C、f1(x)≤g(x)≤f2(x)
D、f2(x)≤g(x)≤f1(x)

答案A

解析 利用曲率公式和题设条件找出两曲线f1(x)和f2(x)与其公切线的位置关系及两曲线f1(x)与f2(x)之间的位置关系,从而确定其大小关系.
    因曲线y=f1(x)与y=f2(x)在(x0,y0)处有公切线,则f1(x0)=f2(x0),f′1(x0)
=f′2(x0).设f1(x)与f2(x)在(x0,y0)处的曲率分别为k1,k2,则k1>k2,即

    因f′1(x0)=f′2(x0),故∣f″1(x0)∣>∣f″2(x0)∣.而f″1(x0)<0.f″2(x0)<0,所以
f″1(x0)<f″2(x0)<0.从而在x0的某个领域内f1(x),f2(z)均为凸函数,故f1(x)≤g(x),f2(x)≤g(x).于是选项(C),(D)不成立.
为进一步找出f1(x)与f2(x)的位置关系,令F(x)=f1(x)一f2(x),则
    F(x0)=0,  F′(x0)=0,  F″(x0)=f″1(x0)一f″2(x0)<0.
    由定理1.2.5.2知,x=x0为F(x)的极大值点,则F(x)≤F(x0)=0,即f1(x)≤f2(x),于是排除选项(B).仅(A)入选.
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