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设F(x)=g(x)φ(x),x=a是φ(x)的跳跃间断点,g′(a)存在,则g(a)=0,g′(a)=0是F(x)在x=a处可导的( )
设F(x)=g(x)φ(x),x=a是φ(x)的跳跃间断点,g′(a)存在,则g(a)=0,g′(a)=0是F(x)在x=a处可导的( )
admin
2020-03-02
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问题
设F(x)=g(x)φ(x),x=a是φ(x)的跳跃间断点,g′(a)存在,则g(a)=0,g′(a)=0是F(x)在x=a处可导的( )
选项
A、充分必要条件。
B、充分非必要条件。
C、必要非充分条件。
D、非充分非必要条件。
答案
A
解析
因φ(x)在x=a不可导,所以不能对F(x)用乘积的求导法则,需用定义求F′(a)。题设φ(x)以x=a为跳跃间断点,则存在
,A
+
≠A
—
。
当g(a)=0时,
这表明,g(a)=0时,F′(a)存在
F′
+
(a)=F′
—
(a)
g′(a)(A
+
—A
—
)=0
g′(a)=0。
下面证明若F′(a)存在,则g(a)=0。
反证法,若g(a)≠0,φ(x)=
,由商的求导法则,φ(x)在x=a处可导,这与题设矛盾,则g(a)=0,g′(a)=0是F(x)在x=a处可导的充要条件,故选A。
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考研数学一
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