设f(x)在[0,1]上可导，F(x)=∫0xt2f(t)dt，且F(1)=f(1)，证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得.

admin2022-09-05 28

问题设f(x)在[0,1]上可导，F(x)=∫₀^xt²f(t)dt，且F(1)=f(1)，证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得

选项

答案由积分中值定理得:存在η∈[0,x],使F(x)=∫₀^xt²f(t)dt=η²f(η)工,从而 F(1)=η²f(η)= f(1). 设G(x)=x²f(x),则G(1)= f(1),而G(η)=η² f(η)=f(1),从而G(1)=G(η). 对函数G(x)在[η,1][*][0,1]上使用罗尔定理得至少存在一点ξ∈(0,1)，使得 [*]

解析

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考研数学三

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设f(x)∈C[0，1]，f(x)＞0．证明积分不等式：lnf(x)dx≥lnf(x)dx．
设f(x)为可导的偶函数，满足，则曲线y＝f(x)在点（－1，f(－1)）处的切线方程为__________。
求极限
设函数f(x)在区间[－1，1]上有三阶连续导数，且f(－1)=0，f(1)=1，f′(0)=0，证明：在(－1，1)内至少存在一点ξ，使得f′"(ξ)=3．
设f(x)在[0，+∞)上连续且单调增加，试证对任何b＞a＞0，都有下面不等式成立：
设当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC－CA=B，并求所有的矩阵C．
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