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  3. 计算二重积分其中积分区域D是由曲线以及直线x=2围成．

计算二重积分其中积分区域D是由曲线以及直线x=2围成．

admin2014-02-05  26
问题 计算二重积分其中积分区域D是由曲线以及直线x=2围成．
选项
答案【解法一】[*]积分区域D可表示为[*]如图，则有[*][*]而[*][*]代入即得所求二重积分[*] 【解法二】为简化计算将积分区域D表示为D=D1＼D2，其中D1是上半圆域(x一2)2+y2≤4且y≥0中横坐标满足0≤x≤2的四分之一圆域，即D1={(x，y)}0≤x≤2，0≤y≤[*]}，D2是上半圆域(x一1)2+y2≤1且y≥0，即D2={(x，y)10≤x≤2，0≤y≤[*]}，从而[*]为了计算二重积分I1，I2简便起见，可分别在D1与D2上作适当的平移变换，而后再作极坐标变换．对于I1，令u=x一2，v=y[*]x=u+2，y=x，则D1变成D1’={(u，u)｜u2+v2≤4，v≥0，一2≤u≤0}，令u=rcosθ，v=rsinθ，在极坐标系(r，θ)中D1’={(r，θ)｜[*]≤θ≤π，0≤r≤2}，dσ=rdrdθ，故[*]对于I2，令u=x一1，v=y[*]x=u+1，y=v，则D2变成D2={(u,v)｜u2+v2≤1，v≥0}，令u=rcosθ，v=rsinθ，在极坐标系(r，θ)中D2’={(r，θ)｜0≤θ≤π，0≤r≤1}，dσ=rdrdθ，由此可得[*]
解析
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考研数学二

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