[2008年] 设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3．证明α1，α2，α3线性无关；

admin2019-04-28 46

问题 [2008年] 设A为三阶矩阵，α₁，α₂为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α₃满足Aα₃=α₂+α₃．
证明α₁，α₂，α₃线性无关；

选项

答案证一用向量组线性无关的定义证明．为利用题设条件Aα₃=α₂+α₃易想到需用A同时左乘定义等式两边．设 k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0． ① 由题设，有Aα₁=一α₁，Aα₂=α₂，Aα₃=α₂+α₃．用A左乘式①两边，得到 k₁Aα₁+k₂Aα₂+k₃Aα₃=一k₁α₁+k₂α₂+k₃α₂+k₃α₃=0． ② 本题中隐含了α₁与α₂线性无关，因为它们是属于不同特征值的特征向量．下面利用这一点证明k₁=k₂=k₃=0．由式①一式②得到2k₁α₁一k₂α₂=0．因α₁，α₂为A的属于不同特征值的特征向量，故α₁，α₂线性无关．因而k₁=k₃=0，将其代入式①得到k₂α₂=0，又因α≠0，故k₂=0．于是α₁，α₂，α₃线性无关．证二用反证法证之．假设α₁，α₂，α₃线性相关，由证一知，α₁与α₂线性无关，故α₃可由α₁，α₂线性表出，不妨设α₃=l₁α₁+l₂α₂，其中l₁，l₂不全为零(若l₁，l₂同时为零，则α₃=0，由Aα₃=α₂+α₃得到α₂=0，这与α₂为特征向量矛盾)．因Aα₁=一α₁，Aα₂=α₂，故 Aα₃=α₂+α₃=α₂+l₁α₁+l₂α₂．又一l₁α₁+l₂α₂=α₂+l₁α₁+l₂α₂，即 α₂+2l₁α₁=0，则α₁与α₂线性相关．这与α₁，α₂线性无关矛盾．故α₁，α₂，α₃线性无关．

解析

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考研数学三

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[2008年] 设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3．证明α1，α2，α3线性无关；

考研数学三

设an为发散的正项级数，令Sn＝a1＋a2＋…＋an(n＝1,2,…)．证明：收敛．

求级数的收敛域与和函数．

(1)求常数m，n的值，使得＝3．(2)设当x→0时，x－(a＋bcosx)sinx为x的5阶无穷小，求a，b．(3)设当x→0时，f(x)＝ln(1＋t)dt～g(x)＝xa(ebx－1)，求a，b．

已知(x，y)在以点(0，0)，(1，一1)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布。(Ⅰ)求(X，Y)的联合密度函数f(x，y)；(Ⅱ)求边缘密度函数fX(x)，fY(y)及条件密度函数fX|Y(x|y)，fY|X(y|x)；并问X与Y是否独立；

设随机变量X，Y相互独立，且又设向量组α1，α2，α3线性无关，求α1＋α2，α2＋Xα3，Yα1线性相关的概率．

设f(x)在[0，2]上三阶连续可导，且f(0)＝1，f’(1)＝0，f(2)＝．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’’(ξ)＝2．

设点A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段AB绕x轴一周所得旋转曲面为S．(1)求旋转曲面的方程；(2)求曲面S介于平面z＝0与z＝1之间的体积．

设函数f(x)在(－∞，＋∞)内连续，其导数的图形如下页图，则f(x)有()．

设函数f(x)满足xf’(x)－2f(x)＝－x，且由曲线y＝f(z)，x＝1及x轴(x≥0)所围成的平面图形为D．若D绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：(1)曲线y＝f(x)；(2)曲线在原点处的切线与曲线及直线x＝1所围成的平面图形的面积．

A.渗出B.白细胞渗出C.血管反应D.炎症介质的释放炎症反应最重要的特征是

A．3～4小时B．24小时C．24～48小时D．2～3天E．4～7天急性失血血尿素氮增高达到高峰一般在

具有抗幽门螺杆菌作用的药物是()。

“塞翁失马，焉知非福”，直译为“塞翁无意中丢失了马，这难道不是好事儿吗?”　根据文意，可以推出()。

从业人员在紧急情况下停止作业或采取紧急撤离措施导致企业损失，可通过从业人员降低工资、福利等方式弥补。()

根据CIC条款一般附加险有()。

当消费者预期一种商品的价格会上涨时，该商品的需求量会(　　)。

对重要性和审计风险进行最终评价时，应当按______项目确定可能的审计差异。

【B1】【B16】

[2008年] 设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3． 证明α1，α2，α3线性无关；

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设an为发散的正项级数，令Sn＝a1＋a2＋…＋an(n＝1,2,…)．证明：收敛．

求级数的收敛域与和函数．

(1)求常数m，n的值，使得＝3．(2)设当x→0时，x－(a＋bcosx)sinx为x的5阶无穷小，求a，b．(3)设当x→0时，f(x)＝ln(1＋t)dt～g(x)＝xa(ebx－1)，求a，b．

已知(x，y)在以点(0，0)，(1，一1)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布。(Ⅰ)求(X，Y)的联合密度函数f(x，y)；(Ⅱ)求边缘密度函数fX(x)，fY(y)及条件密度函数fX|Y(x|y)，fY|X(y|x)；并问X与Y是否独立；

设随机变量X，Y相互独立，且又设向量组α1，α2，α3线性无关，求α1＋α2，α2＋Xα3，Yα1线性相关的概率．

设f(x)在[0，2]上三阶连续可导，且f(0)＝1，f’(1)＝0，f(2)＝．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’’(ξ)＝2．

设点A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段AB绕x轴一周所得旋转曲面为S．(1)求旋转曲面的方程；(2)求曲面S介于平面z＝0与z＝1之间的体积．

设函数f(x)在(－∞，＋∞)内连续，其导数的图形如下页图，则f(x)有()．

设函数f(x)满足xf’(x)－2f(x)＝－x，且由曲线y＝f(z)，x＝1及x轴(x≥0)所围成的平面图形为D．若D绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：(1)曲线y＝f(x)；(2)曲线在原点处的切线与曲线及直线x＝1所围成的平面图形的面积．

A.渗出B.白细胞渗出C.血管反应D.炎症介质的释放炎症反应最重要的特征是

A．3～4小时B．24小时C．24～48小时D．2～3天E．4～7天急性失血血尿素氮增高达到高峰一般在

具有抗幽门螺杆菌作用的药物是()。

“塞翁失马，焉知非福”，直译为“塞翁无意中丢失了马，这难道不是好事儿吗?” 根据文意，可以推出()。

从业人员在紧急情况下停止作业或采取紧急撤离措施导致企业损失，可通过从业人员降低工资、福利等方式弥补。()

根据CIC条款一般附加险有()。

当消费者预期一种商品的价格会上涨时，该商品的需求量会( )。

对重要性和审计风险进行最终评价时，应当按______项目确定可能的审计差异。

【B1】【B16】

[2008年] 设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3．证明α1，α2，α3线性无关；

“塞翁失马，焉知非福”，直译为“塞翁无意中丢失了马，这难道不是好事儿吗?”　根据文意，可以推出()。

当消费者预期一种商品的价格会上涨时，该商品的需求量会(　　)。