(2013年)求曲线χ3-χy+y3=1(χ≥0,y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离.

admin2016-05-30  35

问题 (2013年)求曲线χ3-χy+y3=1(χ≥0,y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离.

选项

答案设(χ,y)为曲线上的点,目标函数为f(χ,y)=χ2+y2,构造拉格朗日函数 L(χ,y,λ)=χ2+y2+λ(χ3-χy+y3-1). [*] 当χ>0,y>0时,由①,②得[*],即3χy(y-χ)=(χ+y)(χ-y),得y=χ,或3χy=-(χ+y)(由于χ>0,y>0,舍去). 将y=χ代入③得2χ3-χ2-1=0,即(2χ2+χ+1)(χ-1)=0, 所以(1,1)为唯一可能的极值点,此时[*]; 当χ=0,y=1或χ=1,y=0时,[*]=1. 故所求最长距离为[*],最短距离为1.

解析
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