2. 考研
  3. (2008年试题，19)设f(x)是区间[0，+∞)上具有连续导数的单调增加函数，且f(x)=1．对任意的t∈[0，+∞)，直线x=0，x=t，曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，

(2008年试题，19)设f(x)是区间[0，+∞)上具有连续导数的单调增加函数，且f(x)=1．对任意的t∈[0，+∞)，直线x=0，x=t，曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，

admin2013-12-18  49
问题 (2008年试题，19)设f(x)是区间[0，+∞)上具有连续导数的单调增加函数，且f(x)=1．对任意的t∈[0，+∞)，直线x=0，x=t，曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式．
选项
答案旋转体的体积为[*]旋转体的侧面积为[*]由题意[*]可得[*]两边求导得[*]又f(0)=1，则f(t)不恒等于零．故[*]f(t)，平方得1+[f’(t)]2=f2(t)，再对两边求导2f’(t)f’’(t)；2f’=(t)f(t)，即f’’(t)=f(t)因而其特征方程为λ2—1=0，特征根λ1λ2=±1，则通解为f(t)=C1et+C2e-t．又1+[f’(t)]2=f2(t)，则C1C2=[*]所以[*]再由f(0)=1，得[*]故曲线方程为[*]
解析
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考研数学二

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