A为n(n≥3)阶非零实矩阵,Aij为|A|中元素aij的代数余子式,试证明: (1)aij=AijATA=E,且|A|=1; (2)aij=-AijATA=E,且|A|=-1.

admin2018-09-25  37

问题 A为n(n≥3)阶非零实矩阵,Aij为|A|中元素aij的代数余子式,试证明:
(1)aij=Aij<=>ATA=E,且|A|=1;
(2)aij=-Aij<=>ATA=E,且|A|=-1.

选项

答案(1)当aij=Aij时,有AT=A*,则ATA=A*A=|A|E.由于A为n阶非零实矩阵,即aij,不全为0,所以 [*] 而tr(AAT)=tr(|A|E)=N|A|,这说明|A|>0,在 AAT=|A|E两边取行列式,得|A|n-2=1,于是|A|=1,故ATA=E. 反之,若ATA=E且|A|=1,则A*A=|A|E=E且A可逆,于是,ATA=A*A,AT=A*,即aij=Aij. (2)当aij=-Aij时,有AT=-A*,则ATA=-A*A=-|A|E.由于A为n阶非零实矩阵,即aij不全为0,所以 [*] 在ATA=-|A|E两边取行列式得|A|=1,故ATA=E. 反之,若ATA=E且|A|=-1,由于A*A=|A|E=-E,于是,ATA=-A*A.进一步,由于A可逆,得AT=-A*,即aij=-Aij

解析
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