设γ1,γ2,…,γt和η1,η2…ηs分别是AX=0和BX=0的基础解系.证明:AX=0和BX=0有非零公共解的充要条件是γ1,γ2,…,γt,η1,η2,…,ηs线性相关.

admin2016-09-19  57

问题 设γ1,γ2,…,γt和η1,η2…ηs分别是AX=0和BX=0的基础解系.证明:AX=0和BX=0有非零公共解的充要条件是γ1,γ2,…,γt,η1,η2,…,ηs线性相关.

选项

答案必要性 由γ1,γ2,…,γt,η1,η2,…,ηs线性相关,知存在k1,k2,…,kt,l1,l2,…,ls不全为零,使得 k1γ1+k2γ2+…+ktγt+l1η1+l2η2+…+lsηs=0. 令ξ=k1γ1+k2γ2…+ktγt,则ξ≠0(否则k1,k2,…,kt,l1,l2,…,ls全为0),且ξ=-l1η1-l2η2-…-lsηs, 即非零向量考既可由γ1,γ2,…,γt表示,也可由η1,η2,…,ηs表示,所以Ax=0和BX=0有非零公共解. 充分性 若Ax=0和Bx=0有非零公共解,假设为ξ≠0,则ξ=k1γ1+k2γ2+…+ktγt且ξ=-l1η1-l2η2-…-lsηs,于是,存在k1,k2,…,kt不全为零,存在l1,l2,…,ls不全为零,使得 k1γ1+k2γ2…+ktγt+l1η1+l2η2+…+lsηs=0. 从而γ1,γ2,…,γt,η1,η2,…,ηs线性相关.

解析
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