2. 考研
  3. 设f(χ)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f〞(χ)≥0，φ(χ)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫abφ(χ)dχ＝1．证明：∫abf(χ)φ(χ)dχ≥f[∫abχφ(χ)dχ]．

设f(χ)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f〞(χ)≥0，φ(χ)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫abφ(χ)dχ＝1．证明：∫abf(χ)φ(χ)dχ≥f[∫abχφ(χ)dχ]．

admin2019-03-21  58
问题 设f(χ)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f〞(χ)≥0，φ(χ)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫abφ(χ)dχ＝1．证明：∫abf(χ)φ(χ)dχ≥f[∫abχφ(χ)dχ]．
选项
答案因为f〞(χ)≥0，所以有f(χ)≥f(χ0)＋f′(χ0)(χ－χ0)． 取χ0＝∫abχφ(χ)dχ，因为φ(χ)≥0，所以aφ(χ)≤χφ(χ)≤bφ(χ)，又∫abφ(χ)dχ＝1，于是有a≤∫abχφ(χ)dχ＝χ0≤b．把χ0＝∫abχφ(χ)dχ代入f(χ)≥f(χ0)＋f′(χ0)(χ－χ0)中，再由φ(χ)≥0，得 f(χ)φ(χ)≥f(χ0)φ(χ)＋f′(χ0)[χφ(χ)－χ0φ(χ)]， 上述不等式两边再在区间[a，b]上积分，得∫abf(χ)φ(χ)dχ≥f[∫abχφ(χ)dχ]．
解析
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考研数学二

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