设A，B均是不等于零的常数，则微分方程y’’-2y’+5y=excos2x有特解( )

admin2019-05-15 19

问题设A，B均是不等于零的常数，则微分方程y’’-2y’+5y=e^xcos2x有特解( )

选项 A、y^*=xe^x(Acos2x+Bsin2x)．
B、y^*=e^x(Acos2x+Bsin2x)．
C、y^*=Axe^xcos2x．
D、y^*=Axe^xsin2x．

答案D

解析二阶线性齐次微分方程y’’-2y’+5y=0的特征方程为r²-2r+5=0，特征根为
r_1,2=1±2i．
因为λ±iω=1±2i是特征根，所以设二阶线性非齐次微分方程
y’’-2y’+5y=e^xcos2x
的特解为y^*=xe^x(Acos2x+Bsi2x)．从形式上看，应选A，但注意到题目条件A，B均是不等于零的常数，进一步，
y’^*=(x+1)e^x(Acos2x+Bsin2x)+xe^x(-2Asin2x+2Bcos2x)，
y’’^*=(x+2)e^x(Acos2x+Bsin2x)+2(x+1)e^x(-2Asin2x+2Bcos2x)+xe^x(-4Acos2x-4Bsin2x)，
将y^*，y’^*，y’’’^*代入y’’-2y’+5y=e^xcos2x，并化简整理得
4Be^xcos2x-4Ae^xsin2x=e^xcos2x，
从而A=0，B=

xe^xsin 2x是原微分方程的特解，于是y^*=Axe^xsin 2x是其特解．

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考研数学一

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