首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设f(x)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,且∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)sinxdx=0.证明:存在ξ∈(0,π),使得f(ξ)=0.
设f(x)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,且∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)sinxdx=0.证明:存在ξ∈(0,π),使得f(ξ)=0.
admin
2016-09-13
41
问题
设f(x)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,且∫
0
π
f(x)cosxdx=∫
0
π
f(x)sinxdx=0.证明:存在ξ∈(0,π),使得f(ξ)=0.
选项
答案
首先证明f(x)在(0,π)内必有零点. 因为在(0,π)内f(x)连续,且sinx>0,所以,若无零点,则恒有f(x)>0或f(x)<0,从而有∫
0
π
f(x)sinxdx>0或∫
0
π
f(x)sinxdx<0,与题设矛盾.所以f(x)在(0,π)内必有零点. 下面证明f(x)在(0,π)内零点不唯一,即至少有两个零点. 用反证法.假设f(x)在(0,π)内只有一个零点x
0
,则f(x)在(0,x
0
)和(x
0
,π)上取不同的符号(且不等于零),否则与∫
0
π
f(x)sinxdx=0矛盾.这样,函数sin(x-x
0
)f(x)在(0,x
0
)和(x
0
,π)上取相同的符号,即恒正或恒负. 那么有:∫
0
π
f(x)sin(x-x
0
)dx≠0.但是 ∫
0
π
f(x)sin(x-x
0
)dx=∫
0
π
f(x)(sinxcosx
0
-cosxsinx
0
)dx =cosx
0
∫
0
π
f(x)sinxdx-sinx
0
∫
0
π
f(x)cosxdx=0. 从而矛盾,所以f(x)在(0,π)内至少有两个零点.于是由罗尔定理即得存在ξ∈(0,π),使得fˊ(ξ)=0.
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/xfxRFFFM
0
考研数学三
相关试题推荐
A、 B、 C、 D、 B
[*]
[*]
设P(A)=0或1,证明A与其他任何事件B相互独立.
求下列三重积分
计算高斯积分其中,r=(x,xo)i+(y-yo)j+(z-zo)k,r=|r|,n是封闭曲面∑的外法向量,点Mo(xo,yo,zo)是定点,点M(x,y,z)是动点,研究两种情况:(1)Mo在∑的外部;(2)Mo在∑的内部.
试确定常数A,B,C的值,使得ex(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3),其中o(x3)是当x→0时比x3高阶的无穷小.
当x→0时,(1-ax2)1/4-1与xsinx是等价无穷小,则z=_________.
若f(x)在x=0点有二阶连续导数,且x→0时(x)一x与x一sinx等价,则().
设n阶矩阵A与B等价,则必有().
随机试题
抗日战争开始后,国民政府军事委员会的内部领导体制及机构作了较大调整,大大提高了军事委员会的地位。这一调整主要体现为()
丙型肝炎的主要传播途径是
根据民事诉讼法有关管辖的规定,下列哪些民事诉讼由原告住所地人民法院管辖?
客流因人们的出行而形成,而人们出行的原因有两种:即生产、工作的需要和生活的需要。下列各项属于生活需要的有()。
劳动保障行政复议是由( )引起的。
导游员根据()与旅游者签订的合同或约定,按接待计划安排和组织游客参观游览。
下列哪些理论是对遗忘的理论解释?()
工人人数最多的厂是()。
分析商业银行盈利性的指标不包括()。[中国人民大学2015金融硕士]
A、It’suptoyou.B、Comeoffit.C、Thatisagoodidea.D、ItisOK.A本题考查对征求意见的选择疑问句的回答。对此类问题的回答,可以选择其一作答;也可以都不选择,然后表明自己的态度。A)“取
最新回复
(
0
)