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设矩阵已知A的一个特征值为3. 求矩阵P,使(AP)T(AP)为对角矩阵.
设矩阵已知A的一个特征值为3. 求矩阵P,使(AP)T(AP)为对角矩阵.
admin
2018-08-22
34
问题
设矩阵
已知A的一个特征值为3.
求矩阵P,使(AP)
T
(AP)为对角矩阵.
选项
答案
A为对称矩阵,要使(AP)
T
(AP)=p
T
A
2
P为对角矩阵,即将实对称矩阵A
2
对角化. 由上题得A的特征值λ
1
=一1,λ
2,3
=1,λ
4
=3,故A
2
的特征值μ
1,2,3
=1,μ
4
=9,且 [*] 方法一 A
2
的属于特征值μ
1,2,3
=1的正交单位化的特征向量为 p
1
=[1,0,0,0]
T
,p
2
=[0,1,0,0]
T
,[*] A
2
的属于特征值μ
4
=9的正交单位化的特征向量为[*] [*] 方法二 对应于A
2
的二次型为 [*] 将X=PY代入二次型X
T
A
2
X,得 X
T
A
2
X=(PY)
T
A
2
(PY)=Y
T
(AP)
T
(AP)Y [*] 即矩阵P,使得 [*]
解析
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0
考研数学二
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