(14年)设函数f(χ),g(χ)在区间[a,b]上连续,且f(χ)单调增加,0≤g(χ)≤1.证明: (Ⅰ)0≤∫aχg(t)dt≤(χ-a),χ∈[a,b] (Ⅱ)f(χ)dχ≤∫abf(χ)g(χ)dχ.

admin2019-03-19  51

问题 (14年)设函数f(χ),g(χ)在区间[a,b]上连续,且f(χ)单调增加,0≤g(χ)≤1.证明:
    (Ⅰ)0≤∫aχg(t)dt≤(χ-a),χ∈[a,b]
    (Ⅱ)f(χ)dχ≤∫abf(χ)g(χ)dχ.

选项

答案(Ⅰ)由0≤g(χ)≤1得 0≤∫0χg(t)dt≤∫0χ1dt(χ-a) χ∈[a,b] (Ⅱ)令F(u)=∫f(χ)g(χ)dχ-[*]f(χ)dχ 只要证明F(b)≥0,显然F(a)=0,只要证明F(u)单调增,又 F′(u)=f(u)g(u)-f(a+∫aug(t)dt)g(u) =g(u)[f(u)-f(a+∫aug(t)dt)] 由(Ⅰ)的结论0≤∫aχg(t)dt≤(χ-a)知,a≤a+∫aχg(t)dt≤χ,即 a≤a+∫aug(t)dt≤u 又f(χ)单调增加,则f(u)≥f(a+∫aug(t)dt),因此,F′(u)≥0,F(b)≥0. 故[*]f(χ)dχ≤∫ab(χ)g(χ)dχ.

解析
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