已知αi=(αi1,αi2…,αin)T(i=1,2,…,r,r<n)是n维实向量,且α1,α2…,αr线性无关.已知β= (b1,b2,…,bn)T是线性方程组 的非零解向量.试判断向量组α1,α2,…,αr,β的线性柑关性.

admin2016-03-26  47

问题 已知αi=(αi1,αi2…,αin)T(i=1,2,…,r,r<n)是n维实向量,且α1,α2…,αr线性无关.已知β= (b1,b2,…,bn)T是线性方程组
    的非零解向量.试判断向量组α1,α2,…,αr,β的线性柑关性.

选项

答案由题设条件有βTαi=0(i=1,2,…,r).设 k1α1+…+krαr+kr+1β=0 (*) 两端左乘βT,得kr+1βTβ=0,又β≠0,=>βTβ=∥β∥2>0,故kr+1=0 代入(*)式,得k1α1+…+krαr=0,又α1,…,αr,线性无关,所以有k1=…=kr=0,因此α1,…,αr,β线性无关.

解析
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