设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组Akx=0有解向量α,且Ak-1α≠0,证明:向量组α,Aα,…,Ak-1α是线性无关的.

admin2020-09-25  35

问题 设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组Akx=0有解向量α,且Ak-1α≠0,证明:向量组α,Aα,…,Ak-1α是线性无关的.

选项

答案设有关系式l0α+l1Aα+…+lk-1Ak-1α=0,用Ak-1左乘上式两边,有 l0Ak-1α+l1Akα+…+lk-1A2k-2α=0. 由Akα=0知当l≥k时Alα=0,从而可将上式变为l0Ak-1α=0.而Ak-1α≠0,所以l0=0. 则关系式变为l1Aα+l2A2α+…+lk-1Ak-1α=0,类似地,对等式两边左乘Ak-2,则可得l1=0. 依此类推,可得l2=…=lk-1=0.所以α,Aα,…,Ak-1α线性无关.

解析
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