2. 考研
  3. 从给定的6种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的涂色方案共有( )种．

从给定的6种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的涂色方案共有( )种．

admin2016-07-25  43
问题 从给定的6种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的涂色方案共有(    )种．
选项 A、120
B、240
C、320
D、480
E、600
答案C
解析 显然，至少需要三种颜色，分成以下几类：
  (1)用6种颜色，确定某种颜色所涂面为下底面，则上底颜色可有5种选择，在上、下底已涂好后，再确定其余4种颜色中的某一种所涂面为左侧面，则其余3个面有3!种涂色方案，根据乘法原理，得
    n1=5×3!=30；
  (2)共用五种颜色，选定五种颜色有C65=6种方法，必有两面同色(必为相对面)，确定为上、下底面，其颜色可有5种选择，再确定一种颜色为左侧面，则其余3个面有3 1种涂色方案，根据乘法原理，得
    n2=C65×5×3!=180；
  (3)共用四种颜色，选定4种颜色有C64种方法，从4种颜色中选2种颜色作为重复使用的颜色C42，同色的面为两组相对面，只有1种方法，不同色的面作为另外一组相对面，只有1种方法，根据乘法原理，得
    n3=C64C42×1×1=90；
  (4)共用三种颜色，选定3种颜色有C63种方法，作为3组相对面，只有1种方法，故n4=C63=20；
  总的涂色方案有30+180+90+20=320(种)．
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