假设G=｛(x，y)｜x2+y2≤r2｝是以原点为圆心，半径为r的圆形区域，而随机变量X和Y的联合分布是在圆G上的均匀分布．试确定随机变量X和Y的独立性和相关性．

admin2016-09-19 39

问题假设G=｛(x，y)｜x²+y²≤r²｝是以原点为圆心，半径为r的圆形区域，而随机变量X和Y的联合分布是在圆G上的均匀分布．试确定随机变量X和Y的独立性和相关性．

选项

答案(1)X和Y的联合密度为 [*] 那么，X的密度函数f₁(x)和y的密度函数f₂(y)相应为 [*] 由于f(x，y)≠f₁(x)f₂(y)，可见随机变量X和Y不独立． (2)证明X和Y不相关，即X和Y的相关系数ρ=0． EX=∫_－∞^＋∞xf₁(x)dx=[*]=0 ．因此，有 Cov(X，Y)=E(XY)=∫_－∞^＋∞∫_－∞^＋∞xyf(x，y)dxdy=[*]xyfdxdy=0．于是，X和Y的相关系数ρ=0．这样，X和Y虽然不相关，但是不独立．

解析

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考研数学三

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假设G=｛(x，y)｜x2+y2≤r2｝是以原点为圆心，半径为r的圆形区域，而随机变量X和Y的联合分布是在圆G上的均匀分布．试确定随机变量X和Y的独立性和相关性．

考研数学三

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