已知二次型2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)可用正交变换化为y12+2y22+5y32，求a和所作正交变换．

admin2021-11-09 23

问题已知二次型2x₁²+3x₂²+3x₃²+2ax₂x₃(a＞0)可用正交变换化为y₁²+2y₂²+5y₃²，求a和所作正交变换．

选项

答案原二次型的矩阵A和化出二次型的矩阵B相似． [*] 于是｜A｜=｜B｜=10．而｜A｜=2(9-a²)，得a²=4，a=2． A和B的特征值相同，为1，2，5．对这3个特征值求单位特征向量．对于特征值1： [*] 得(A-E)X=0的同解方程组 [*] 得属于1的一个特征向量η₁=(0，1，-1)^T，单位化得γ₁=[*] 对于特征值2： [*] 得(A-2E)X=0的同解方程组 [*] 得属于2的一个单位特征向量γ₂=(1，0，O)^T．对于特征值5： [*] 得(A-5E)X=0的同解方程组 [*] 得属于5的一个特征向量η₃=(0，1，1)^T，单位化得γ₃=[*] 令Q=(γ₁，γ₂，γ₃)，则正交变换X=QY把原二次型化为y₁²+2y₂²+5y₃²．

解析

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考研数学二

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已知二次型2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a＞0)可用正交变换化为y12+2y22+5y32，求a和所作正交变换．

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