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已知二次型2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a>0)可用正交变换化为y12+2y22+5y32,求a和所作正交变换.
已知二次型2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a>0)可用正交变换化为y12+2y22+5y32,求a和所作正交变换.
admin
2021-11-09
24
问题
已知二次型2x
1
2
+3x
2
2
+3x
3
2
+2ax
2
x
3
(a>0)可用正交变换化为y
1
2
+2y
2
2
+5y
3
2
,求a和所作正交变换.
选项
答案
原二次型的矩阵A和化出二次型的矩阵B相似. [*] 于是|A|=|B|=10.而|A|=2(9-a
2
),得a
2
=4,a=2. A和B的特征值相同,为1,2,5.对这3个特征值求单位特征向量. 对于特征值1: [*] 得(A-E)X=0的同解方程组 [*] 得属于1的一个特征向量η
1
=(0,1,-1)
T
,单位化得γ
1
=[*] 对于特征值2: [*] 得(A-2E)X=0的同解方程组 [*] 得属于2的一个单位特征向量γ
2
=(1,0,O)
T
. 对于特征值5: [*] 得(A-5E)X=0的同解方程组 [*] 得属于5的一个特征向量η
3
=(0,1,1)
T
,单位化得γ
3
=[*] 令Q=(γ
1
,γ
2
,γ
3
),则正交变换X=QY把原二次型化为y
1
2
+2y
2
2
+5y
3
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/wclRFFFM
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考研数学二
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