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  3. 设二次型 满足＝2,AB＝O，其中B＝ (Ⅰ)用正交变换化二次型为标准形，并求所作正交变换； (Ⅱ)求该二次型； (Ⅲ)f(x1，x2，x3)＝1表示什么曲面?

设二次型 满足＝2,AB＝O，其中B＝ (Ⅰ)用正交变换化二次型为标准形，并求所作正交变换； (Ⅱ)求该二次型； (Ⅲ)f(x1，x2，x3)＝1表示什么曲面?

admin2019-01-24  53
问题 设二次型

满足＝2,AB＝O，其中B＝
(Ⅰ)用正交变换化二次型为标准形，并求所作正交变换；
(Ⅱ)求该二次型；
(Ⅲ)f(x1，x2，x3)＝1表示什么曲面?
选项
答案(Ⅰ)由题设条件[*]，可知B的3个列向量都是Ax＝0的解向量，也是A的对应于λ＝0的特征向量，其中[*]L79线性无关且正交，[*]，故λ＝0至少是二重特征值． 又因[*]，另一个特征值是λ3＝2，故λ1＝λ2＝0是二重特征值．因A是实对称矩阵，故 对应λ3＝2的特征向量应与ξ1，ξ1正交，设ξ3＝(x1，x2，x3)T，则有 [*] 故存在正交变换x＝Qy，其中[*]． (Ⅱ)先求二次型对应矩阵，因QTAQ＝Q－1AQ＝[*]，故 [*] 故所求二次型为[*]． (Ⅲ)法一 由标准形知f(x1，x2，x3)＝2y32＝1，[*]，表示两个平行平面． 法二 由(Ⅱ)得二次型 [*]
解析
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考研数学一

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