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设函数Y=f(x)在(0,+∞)内有界且可导,则
设函数Y=f(x)在(0,+∞)内有界且可导,则
admin
2014-05-19
24
问题
设函数Y=f(x)在(0,+∞)内有界且可导,则
选项
A、当
时,必有
.
B、当
存在时,必有
.
C、当
时,必有
.
D、当
存在时,必有
.
答案
B
解析
[分析] 本题考查函数的有界性与函数的极限、导函数的极限之间的关系,可通过举反例用排除法找到答案,也可用中值定理直接证明.
[详解1] 设
,所以f(x)在(0,+∞)内
有界,由于
可见f(x)在(0,+∞)内可导.但
不存在,
,排除(A),(D).
又设f(x)=sinx,则f(x)在(0,+∞)内有界且可导,
,进一步排除(C).故应选(B).
[详解2] 直接证明(B)正确.用反证法,由题设
存在,设
,不妨设A>0,则对于
存在x>0,当x>X时,有
即
,可见
.在区间[X,x]上应用拉格朗日中值定理,有
f(x)=f(X)+f’(ξ)(x-X)>f(X)+
,
于是
,与题设f(x)存(0,+∞)上有界矛盾,故
.
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考研数学二
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