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已知双曲线C:x2一=1.过点(1,1)作直线l,使l与C只有一个交点,满足这个条件的直线l共有[ ]条.
已知双曲线C:x2一=1.过点(1,1)作直线l,使l与C只有一个交点,满足这个条件的直线l共有[ ]条.
admin
2016-03-01
40
问题
已知双曲线C:x
2
一
=1.过点(1,1)作直线l,使l与C只有一个交点,满足这个条件的直线l共有[ ]条.
选项
A、1
B、2
C、3
D、4
答案
D
解析
过点(1,1)的直线,如果斜率不存在,则直线为x=1,它与C有一个公共点,即C右支上的顶点(1,0).
过点(1,1)且斜率为k的直线方程为y=k(x-1)+1.将y代入C的方程,得
(4一k)x
2
+2(k
2
一k)x一(k
2
一2k+5)=0. (*)
若k=±2,方程(*)可分别解出一个x,即有两条符合条件的直线.若k≠±2,(*)式为二次方程,其判别式
△=4(k
2
一k)
2
+4(4一k
2
)(k
2
一2k+5)=4(一8k+20).
当k=
时,△=0,l与C有一公共点.
综上,共有4条直线满足条件,其中2条分别平行于双曲线的渐近线(k=±2),另两条分别与双曲线的右支相切.结合图形不作上述计算也可得到选项(D).
故选(D).
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