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设A为3阶实对称矩阵,且满足条件A2+2A=O.已知A的秩r(A)=2. 当k为何值时,矩阵A+kE为正定矩阵,其中E为3阶单位矩阵.
设A为3阶实对称矩阵,且满足条件A2+2A=O.已知A的秩r(A)=2. 当k为何值时,矩阵A+kE为正定矩阵,其中E为3阶单位矩阵.
admin
2019-12-26
20
问题
设A为3阶实对称矩阵,且满足条件A
2
+2A=O.已知A的秩r(A)=2.
当k为何值时,矩阵A+kE为正定矩阵,其中E为3阶单位矩阵.
选项
答案
【解法1】矩阵A+kE仍为实对称矩阵.由上题知,A+kE的全部特征值为 -2+k,-2+k,k, 于是,当k>2时矩阵A+kE的特征值均大于零.因此,当k>2时,矩阵A+kE为正定矩阵. 【解法2】 实对称矩阵必可对角化,故存在可逆矩阵P,使得 P
-1
AP=Λ.A=PΛP
-1
. 于是 A+kE=PΛP
-1
+kPP
-1
=P(Λ+kE)P
-1
. 所以 A+kE~Λ+kE. 而 [*] 若Λ+kE为正定矩阵,只需其顺序主子式大于0,即k需满足 k-2>0,(k-2)
2
>0,(k-2)
2
k>0, 因此,当k>2时,矩阵Λ+kE为正定矩阵.
解析
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考研数学三
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