[2003年] 设n维向量α=[a,0,…,0,a]T,a<0,E为n阶单位矩阵,矩阵 A=E-ααT,B=E+(1/a)ααT, 其中A的逆矩阵为B,则a=____________.

admin2019-04-28  67

问题 [2003年]  设n维向量α=[a,0,…,0,a]T,a<0,E为n阶单位矩阵,矩阵
           A=E-ααT,B=E+(1/a)ααT
其中A的逆矩阵为B,则a=____________.

选项

答案-1

解析 解一  由题设有A-1=B,故AB=E,注意到αTα=2a2(是一个数),有
      E=AB-(E-ααT)[E+(1/a)ααT]=E+(1/a)ααT-ααT-(1/a)α(αTα)αT
       =E+[1/a-1-(1/a)·2a2]ααT=E+(1/a-1-2a)ααT
故(1/a-1-2a)ααT=O.因ααT≠O,所以1/a-1-2a=0,即(2a-1)(a+1)=0.因而a=1/2或a=-1.因a<0,故a=-1.
    解二    因(E-A)2=(ααT)2=ααTααT=(αTα)ααT=2a2ααT=2a2(E-A),
即    A2-2A+2a2A=2a2E-E,  亦即  A[A-(2-2a2)E]=(2a2-1)E,
故A可逆,且由题设有
         
整理得到
      
而ααT≠O,故(a+1)(2a-1)=0,又因a<0,故a=-1.
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/venRFFFM
0

最新回复(0)