设三阶实对称矩阵A的秩为2,λ1=λ2=6是A的二重特征值,若α1=(1,1,0)T,α2=(2,1,1)T, α3=(一1,2,一3)T都是A的属于特征值6的特征向量. (1)求A的另一特征值和对应的特征向量; (2)求矩阵A.

admin2017-04-23  29

问题 设三阶实对称矩阵A的秩为2,λ12=6是A的二重特征值,若α1=(1,1,0)T,α2=(2,1,1)T
α3=(一1,2,一3)T都是A的属于特征值6的特征向量.
(1)求A的另一特征值和对应的特征向量;
(2)求矩阵A.

选项

答案(1)因为λ12=6是A的二重特征值,故A的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个,有题设可得α1,α2,α3一个极大无关组为α1,α2,故α1,α2为A的属于特征值6的线性无关的特征向量. 由r(A)=2知|A|=0,所以A的另一特征值为λ3=0. 设λ3=0对应的特征向量为α= (x1,x2,x3)T,则有αiTα=0(i=1,2),即 [*] 解得此方程组的基础解系为α=(一1,1,1)T,即A的属于特征值λ3=0的特征向量为kα=k(一1,1,1)T(k为任意非零常数). (2)令矩阵P=[α1,α2,α],则有 [*]

解析
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