2. 考研
  3. 非负连续函数f(x)满足f(0)=0,f(1)=1,已知以曲线y=f(x)为曲边，以[0,x]为底的曲边梯形，其面积与f(x)的n+1次幂成正比，则f(x)的表达式为________.

非负连续函数f(x)满足f(0)=0,f(1)=1,已知以曲线y=f(x)为曲边，以[0,x]为底的曲边梯形，其面积与f(x)的n+1次幂成正比，则f(x)的表达式为________.

admin2022-03-23  44
问题 非负连续函数f(x)满足f(0)=0,f(1)=1,已知以曲线y=f(x)为曲边，以[0,x]为底的曲边梯形，其面积与f(x)的n+1次幂成正比，则f(x)的表达式为________.
选项
答案[*]
解析 由题意∫0xf(t)dt=k[f(x)]n+1,其中k＞0为常数，上式两边对x求导，得
f(x)=k(n+1)[f(x)]nf’(x)
记y=f(x)，得微分方程且y｜x=0=0,y｜x=1=1,解之，得

由y｜x=0=0得C=0,再由y｜x=1=1得
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考研数学三

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