设 求区间(-1,+∞)上的fˊ(x),并由此讨论区间(-1,+∞)上f(x)的单调性.

admin2018-07-23  58

问题
求区间(-1,+∞)上的fˊ(x),并由此讨论区间(-1,+∞)上f(x)的单调性.

选项

答案 [*] 下面求区间(-1,+∞)上x≠0处的fˊ(x): [*] 为讨论fˊ(x)的符号,取其分子记为g(x),即令 g(x)=(1+x)ln2(1+x)-x2,有g(0)=0. gˊ(x)=2ln (1+x)+ ln2(1+x)-2x,有gˊ(0)=0. 当-1<x<+∞,但x≠0时, [*] 由泰勒公式有当-1<x<+∞,但x≠0时, [*] ξ介于0与x之间. 所以当-1<x<+∞但x≠0时,fˊ(x)<0.又由[*]所以fˊ(x)<0(-1<x<+∞),由定理:设f(x)在区间(a,b)内连续且可导,导数fˊ(x)<0,则f(x)在区间(a,b)内为严格单调减少. 故f(x)在区间(-1,+∞)上单调递减.

解析
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