设p(x),q(x),f(x)均是x的已知连续函数,y1(x),y2(x),y3(x)是y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解,C1,C2是两个任意常数,则该非齐次方程对应的齐次方程的通解是( )

admin2014-07-22  50

问题 设p(x),q(x),f(x)均是x的已知连续函数,y1(x),y2(x),y3(x)是y’’+p(x)y+q(x)y=f(x)的3个线性无关的解,C1,C2是两个任意常数,则该非齐次方程对应的齐次方程的通解是(    )

选项 A、C1y1+(C2一C1)y2+(1一C2)y3
B、(C1一C2)y1+(C2—1)y2+(1一C1)y3
C、(C1+C2)y1+(C1一C2)y2+(1一C1)y3
D、C1y1+C2y2+(1一C1一C2)y3

答案B

解析 将B改写为C1(y1一y3)+C2(y2一y1)+(y3一y2),因为y1,y2,y3均是y’’+p(x)y+q(x)y=f(x)的解,所以y1-y3,y2一y1是y’’+p(x)y+q(x,y)=0的解,并且y1-y3.y2一y1线性无关,事实上,若它们线性相关,则存在k1与k2不全为零,使得k1(y1一y3)+k2(y2一y1)=0,即一k1y+k3,y2+(k1-k2)y1=0.由于题设y1,y2,y3线性无关,故k1=0,k2=0,k1-k2=0,与k1,k2不全为零矛盾.于是推知C1(y3一y3)+C2(y2一y1)为对应的齐次方程的通解,而y3一y2也是对应齐次方程的一个解,它包含于C1(y1-y3)+C2(y2-y1)之中,所以C1(y1一y3)+C2(y2一y1)+(y3一y2),即B也是该非齐方程对应的齐次方程的通解.故应选B.
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