[2010年]设m,n均是正整数,则反常积分的收敛性( ).

admin2019-05-06  37

问题 [2010年]设m,n均是正整数,则反常积分的收敛性(    ).

选项 A、仅与m的取值有关
B、仅与n的取值有关
C、与m,n的取值都有关
D、与m,n的取值都无关

答案D

解析 易看出所给的反常积分有两个瑕点x=0与x=1,因而先将该反常积分分解为两个单一型的反常积分之和,即

.下面讨论I1的敛散性.
(1)设n>1,取,因
知,I1收敛;
(2)设n=1,m=1,2,则,此时I1已不是反常积分,当然收敛;
(3)设n=1,m>2,取P=1—2/m,则0<p<1,且有
可知I1也收敛.综上所述,无论m,n取何正整数,I1均收敛.
下面讨论I2的敛散性.对任意0<p<1,知,对任意正整数n,m,有

可得I2=∫1/21f(x)dx收敛.
因此对任意正整数m,n,所给反常积分都收敛.仅D入选.[img][/img]
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