设二次型χTAχ=χ12+4χ22+χ32+2aχ1χ2+2bχ1χ3+2cχ2χ3,矩阵B=,满足AB=0. ①用正交变换化χTAχ为标准形,写出所作变换. ②求(A-3E)6.

admin2017-11-21  49

问题 设二次型χTAχ=χ12+4χ22+χ32+2aχ1χ2+2bχ1χ3+2cχ2χ3,矩阵B=,满足AB=0.
    ①用正交变换化χTAχ为标准形,写出所作变换.
    ②求(A-3E)6

选项

答案A=[*] ①先作正交矩阵Q,使得Q-1AQ是对角矩阵. 条件说明B的3个列向量都是A的特征向量,并且特征值都是0.由于B的秩大于1,特征值0的重数大于1.于是A的特征值为0,0,6.(tr(A)=6.) 求属于特征值0的两个单位正交特征向量: 对B的第1,2两个列向量α1=(1,0,1)T,α2=(2,-1,0)T作施密特正交化: η1=α1/‖α1‖=[*](1,0,1)T, 求属于特征值6的一个单位特征向量:属于特征值6的特征向量与α1,α2都正交,即是方程组{χ1+χ3=0,2χ1 的非零解,求出α3=(1,2,-1)T是属于6的一个特征向量,单位化 η3=α3/‖α3‖=[*](1,2,-1)T, 记Q=(η1,η2,η3),则Q是正交矩阵, Q-1AQ=[*] 作正交变换χ=Qy,它χTAχ化为标准二次型6y32. ②A的特征值为0,0,6,则A-3E的特征值为-3,-3,3,(A-3E)6的3个特征值都是36. 于是(A-3E)6~36E[*](A-3E)6=36E.

解析
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