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设矩阵A=,则下列矩阵中与矩阵A等价、合同但不相似的是
设矩阵A=,则下列矩阵中与矩阵A等价、合同但不相似的是
admin
2015-04-30
47
问题
设矩阵A=
,则下列矩阵中与矩阵A等价、合同但不相似的是
选项
A、
B、
C、
D、
答案
D.
解析
由|λE—A|=
=λ(λ一3)(λ+3),
可知矩阵A的特征值是3,—3,0,故秩r(A)=2,二次型x
T
Ax的正、负惯性指数均为1.A中矩阵的秩为1,不可能与矩阵A等价;C中矩阵的特征值为3,—3,0,与矩阵A不仅等价、合同,而且也是相似的,不符合题意.
对于(D),记其矩阵为D,由
可知D的特征值为1,—1,0.x
T
Ax与x
T
Dx的正、负惯性指数一样,所以它们合同但不相似(因为特征值不同),符合题意,故应选D.
注意,B中矩阵的特征值为1,4,0,正惯性指数P=2,负惯性指数q=1,与A既不合同也不相似,但等价(因为秩相等).
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考研数学二
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