2. 考研
  3. 设f(x，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，且fy’(a，b)≠0，证明由方程f(x，y)=0在x=a的某邻域所确定的隐函数y=φ(x)在x=a处取得极值b=φ(a)的必要条件是：f(a，b)=0，fx’(a，b)=0，且当r(a，b)＞0时，

设f(x，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，且fy’(a，b)≠0，证明由方程f(x，y)=0在x=a的某邻域所确定的隐函数y=φ(x)在x=a处取得极值b=φ(a)的必要条件是：f(a，b)=0，fx’(a，b)=0，且当r(a，b)＞0时，

admin2020-03-10  89
问题 设f(x，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，且fy’(a，b)≠0，证明由方程f(x，y)=0在x=a的某邻域所确定的隐函数y=φ(x)在x=a处取得极值b=φ(a)的必要条件是：f(a，b)=0，fx’(a，b)=0，且当r(a，b)＞0时，b=φ(a)是极大值；当r(a，b)＜0时，b=φ(a)是极小值，其中
选项
答案y=φ(x)在x=a处取得极值的必要条件是φ’(a)=0．按隐函数求导法，φ’(x)满足fx’(x，φ(x))+fy’(x，φ(x))φ’(x)=0． (*) 因b=φ(a)，则有 [*] 于是fx’(a，b)=0． 将(*)式两边对x求导得 [*] 上式中令x=a，φ(a)=b，φ’(a)=0，得 [*] 因此当[*]时，φ’’(a)＜0，故b=φ(a)是极大值； 当[*]时，φ’’(a)＞0，故b=φ(a)是极小值．
解析
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考研数学三

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