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  3. 设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程 y′+ky=f(x) 存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k≠0为常数．

设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程 y′+ky=f(x) 存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k≠0为常数．

admin2017-03-15  58
问题 设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程
y′+ky=f(x)
存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k≠0为常数．
选项
答案此线性方程的通解即所有解可表示为y(x)=e－kx[C+[*]f(t)ektdt]． y(x)以ω为周期，即y(x)=y(x+ω)，亦即 [*] 对应于这个C的特解就是以ω为周期的函数，而且这样的常数只有一个，所以周期解也只有一个．
解析 本题实际上求该方程的特解．对此，我们先求通解，然后利用周期性确定常数C．
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考研数学一

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