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  3. 设α1，α2…，αr和β1，β2，…，βs是两个线性无关的n维向量．证明：向量组{α1，α2，…，αr；β1，β2，…，βs}线性相关存在非零向量r，它既可用α1，α2，…，αr线性表示，又可用β1，β2，…，βs线性表示．

设α1，α2…，αr和β1，β2，…，βs是两个线性无关的n维向量．证明：向量组{α1，α2，…，αr；β1，β2，…，βs}线性相关存在非零向量r，它既可用α1，α2，…，αr线性表示，又可用β1，β2，…，βs线性表示．

admin2018-11-23  29
问题 设α1，α2…，αr和β1，β2，…，βs是两个线性无关的n维向量．证明：向量组{α1，α2，…，αr；β1，β2，…，βs}线性相关存在非零向量r，它既可用α1，α2，…，αr线性表示，又可用β1，β2，…，βs线性表示．
选项
答案“[*]”因为{α1，α2，…，αr；β1，β2，…，βs}线性相关，所以存在c1，c2，…，cr，cr+1，…，cr+s不全为0，使得 c1α1＋c2α2＋…＋crαr＋cr+1β1＋cr+2β2＋…＋cr+sβs＝0 记γ＝c1α1＋c2α2＋…＋crαr＝－(cr+1β1＋cr+2β2＋…＋cr+sβs)， 则γ≠0(否则由α1，α2，…，αr和β1，β2，…，βs都线性无关，推出c1，c2，…，cr，cr+1，…，cr+s全为0)，并且它既可用α1，α2，…，αr表示，又可用β1，β2，…，βs表示． “[*]”设γ≠0，它既可用α1，…，αr，表示，又可用β1，…，βs表示． 记γ＝c1α1＋c2α2＋…＋crαr＝t1β1＋t2β2＋…＋tsβs，则c1，c2，…，cr，和t1，t2，…，ts都不全为0， 而c1α1＋c2α2＋…＋crαr－t1β1－t2β2－…－tsβs＝0． 根据定义，{α1，α2，…，αr；β1，β2，…，βs}线性相关．
解析
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考研数学一

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