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[2008年] 设n元线性方程组AX=b，其中 当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解．

admin2021-01-25  59
问题 [2008年]  设n元线性方程组AX=b，其中
           
当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解．
选项
答案解一 当(n+1)an=0即a=0时，此时增广矩阵[*]和系数矩阵的秩均为n－1＜n，故方程组有无穷多组解，且 [*] [*]是含最高阶单位矩阵的矩阵．因n－秩(A)=1，故对应的齐次方程组的基础解系只含一个解向量．由基础解系和特解的简便求法知，基础解系和特解分别为 α=[1，0，0，…，0]T， η=[0，1，0，…，0]T， 故AX=b的通解为X=kα+η，k为任意常数． 解二 因秩(A)=秩[*]=n－1，故|A|=(n+1)an=0．因而a=0时方程组有无穷多组解．由解一中的式①知，AX=0的同解方程组为[*]自由变量为x1，取x1=1，则其基础解系为α=[1，0，…，0]T，AX=0的通解为kα，k为任意常数． 又因AX=b的同解方程组为[*]令[*]满足上述方程，故其特解为η=[0，1，0，…，0]T．或在同解方程组[*]中令自由变量x1=0，也可得到η．所以AX=b的通解为k[1，0，0，…，0]T+[0，1，0，…，0]T，尼为任意常数．
解析
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考研数学三

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