求曲面积分I=(x+cosy)dydx+(y+cosz)dzdx+(z+cosx)dxdy，其中S为x+y+z=π在第一卦限部分，取上侧．

admin2016-10-26 35

问题求曲面积分I=

(x+cosy)dydx+(y+cosz)dzdx+(z+cosx)dxdy，其中S为x+y+z=π在第一卦限部分，取上侧．

选项

答案I=[*]xdydz+ydzdx+zdxdy+[*]cosydydz+coszdzdx+cosxdxdy[*]I₁+I₂．平面S的单位法向量N=(cosα，cosβ，cosγ)=[*](1，1，1)，由第一、二类曲面积分的关系，可得 [*] 下面求I₂．投影到xy平面上化为二重积分．S的投影区域为D_xy，如图9．25，则有 [*] I₂=[*][cosy.(一z′_x)+cos(π一(x+y)).(一z′_y)+cosx]dxdy =[*]cos(x+y)dxdy，其中由z=π一(x+y)得z′_x=－1，z′_y=－1．由于D_xy关于y=x对称，则有 [*] 因此I₂=2×2－(－2)=6．因此 I=I₁+I₂=[*]+6．

解析

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