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  3. 证明α1，α2，…，αs(其中α1≠0)线性相关的充分必要条件是存在一个αi(1＜i≤s)能由它前面的那些向量α1，α2，…，αi－1线性表出．

证明α1，α2，…，αs(其中α1≠0)线性相关的充分必要条件是存在一个αi(1＜i≤s)能由它前面的那些向量α1，α2，…，αi－1线性表出．

admin2021-11-15  6
问题 证明α1，α2，…，αs(其中α1≠0)线性相关的充分必要条件是存在一个αi(1＜i≤s)能由它前面的那些向量α1，α2，…，αi－1线性表出．
选项
答案必要性．因为α1，α2，…，αs线性相关，故有不全为0的k1，k2，…，ks，使 k1α1+k2α2+…+ksαs=0． 设ks，ks－1，…，k2，k1中第一个不为0的是ki(即ki≠0，而ki+1=…=ks－1=ks=0)，且必有i＞1(若i=1即k1≠0，k2=…=ks=0，那么k1α1=0．于是α1=0与α1≠0矛盾．)，从而k1α1+k2α2+…+kiαi=0，ki≠0．那么αi=－1／ki(k1α1+k2α2+…+ki－1αi－1)． 充分性．设有αi可用α1，α2，…，αi－1线性表示，则α1，α2，…，αi－1，αi线性相关，从而α1，α2，…，αs线性相关．
解析
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考研数学一

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