设f(x)=验证f(x)在[0,2]上满足拉格朗日中值定理的条件,并求(0,2)内使得f(2)-f(0)=2f′(ξ)成立的ξ.

admin2019-09-27  16

问题 设f(x)=验证f(x)在[0,2]上满足拉格朗日中值定理的条件,并求(0,2)内使得f(2)-f(0)=2f′(ξ)成立的ξ.

选项

答案由f(1-0)=f(1)=f(1+0)=1得f(x)在x=1处连续,从而f(x)在[0,2]上连续. 由f′(1)=[*]=-1, f′+(1)=[*]=-1. 得f(x)在x=1处可导且f′(1)=-1,从而f(x)在(0,2)内可导, 故f(x)在[0,2]上满足拉格朗日中值定理的条件. f(2)-f(0)=[*]=-1, 当x∈(0,1)时,f′(x)=-x; 当x>1时,f′(x)=[*], 即f′(x)=[*] 当0<ξ≤1时,由f(2)-f(0)=2f′(ξ)得-1=-2ξ,解得ξ=[*]; 当1<ξ<2时,由f(2)-f(0)=2f′(ξ)得-1=[*].

解析
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