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  3. 设f(x)为n＋1阶可导函数，求证：f(x)为n次多项式的充要条件是f(n＋1)(x)＝0，fn(x)≠0．

设f(x)为n＋1阶可导函数，求证：f(x)为n次多项式的充要条件是f(n＋1)(x)＝0，fn(x)≠0．

admin2017-08-18  28
问题 设f(x)为n＋1阶可导函数，求证：f(x)为n次多项式的充要条件是f(n＋1)(x)＝0，fn(x)≠0．
选项
答案由带拉格朗日余项的n阶勒公式得 f(x)＝f(0)＋f’(0)x＋…＋[*] 若f(n＋1)(x)≡0，f(n＋1)(x)≠0，由上式[*] f(x)＝f(0)＋f’(0)x＋…＋[*] fn(0)xn是n次多项式． 反之，若f(x)＝anxn＋ an—1xn—1＋…＋a1x＋a0 (an≠0)是n次多项式，显然 fn(x)＝ann!≠0， f(n＋1)(x)≡0．
解析
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考研数学一

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