设二维连续型随机变量(X,Y)在区域D={(x,y)|x2+y2≤1}上服从均匀分布.(I)问X与y是否相互独立; (Ⅱ)求X与Y的相关系数.

admin2017-08-18  26

问题 设二维连续型随机变量(X,Y)在区域D={(x,y)|x2+y2≤1}上服从均匀分布.(I)问X与y是否相互独立; (Ⅱ)求X与Y的相关系数.

选项

答案依题意,(X,Y)的联合密度为 [*] (I)为判断X与Y的相互独立性,先要计算边缘密度fX(x)与fY(y). [*] 当|x|>1时,fX(x)=0. 类似地,有[*] 当x=y=0时,f(0,0)=[*],而fx(0)fy(0)=[*].显然它们不相等,因此随机变量X 与Y不是相互独立的. 或fX(x)·fY(y)≠f(x,y),故X与Y不相互独立. [*] 在这里,被积函数是奇函数,而积分区间[一1,1]又是关于原点对称的区间,故积分值为零.类似地,有 EY=0, [*] 故 Cov(X,Y)=E(XY)一EXEY=0, [*]

解析
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