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  3. 若A、B为两个n阶矩阵，且ABA＝B－1，证明： 秩(E－AB)＋秩(E＋AB)＝n。

若A、B为两个n阶矩阵，且ABA＝B－1，证明： 秩(E－AB)＋秩(E＋AB)＝n。

admin2020-01-15  17
问题 若A、B为两个n阶矩阵，且ABA＝B－1，证明：
    秩(E－AB)＋秩(E＋AB)＝n。
选项
答案证 显然有 秩(E－AB)＋秩(E＋AB)≥秩(E－AB＋E＋AB)＝秩(2E)＝n。 ① 另一方面，由ABA＝B－1得到 (E－AB)(E＋AB)＝E－AB＋AB－ABAB＝E－(ABA)B ＝E－B－1B＝E－E＝O， 故 秩(E－AB)＋秩(E＋AB)≤n。 ② 由式①与式②得到 秩(E－4B)＋秩(E＋AB)＝n。
解析 [证题思路]  只需证明
    秩(E－AB)＋秩(E＋AB)≥n，
    秩(E－AB)＋秩(E＋AB)≤n。
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考研数学一

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