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已知β可用α1，α2，…，αm线性表示，但不能用α1，α2，…，αm-1表出，试判断： (Ⅰ)αm能否用α1，α2，…，αm-1，β线性表示； (Ⅱ)αm能否用α1，α2，…，αm-1线性表示，并说明理由．
已知β可用α1，α2，…，αm线性表示，但不能用α1，α2，…，αm-1表出，试判断： (Ⅰ)αm能否用α1，α2，…，αm-1，β线性表示； (Ⅱ)αm能否用α1，α2，…，αm-1线性表示，并说明理由．
admin
2016-10-20
43
问题
已知β可用α
1
，α
2
，…，α
m
线性表示，但不能用α
1
，α
2
，…，α
m-1
表出，试判断：
(Ⅰ)α
m
能否用α
1
，α
2
，…，α
m-1
，β线性表示；
(Ⅱ)α
m
能否用α
1
，α
2
，…，α
m-1
线性表示，并说明理由．
选项
答案
α
m
不能用α
m
能否用α
1
，α
2
，…，α
m-1
线性表示，但能用α
m
能否用α
1
，α
2
，…，α
m-1
，β线性表示． 因为β可用α
m
能否用α
1
，α
2
，…，α
m
线性表示．可设 x
1
α
1
+x
2
α
2
+…+x
m
α
m
=β， (*) 则必有x
m
≠0，否则β可用α
1
，α
2
，…，α
m-1
线性表示，与已知矛盾．所以 α
m
=[*](β-x
1
α
1
-x
2
α
2
-…-x
m-1
α
m-1
)，即α
m
可由α
1
，α
2
，…，α
m-1
，β线性表示． 如α
m
=l
1
α
1
+l
2
α
2
+…+l
m-1
α
m-1
，代入(*)式知β=(x
1
+l
1
x
m
)α
1
+(x
2
+l
1
x
m
)α
2
+…+(x
m-1
+l
m-1
x
m
)α
m-1
与已知矛盾．即α
m
不能用α
21
，α
2
，…，α
m-1
线性表示． r(α
1
，α
2
，…，α
m
)=r(α
1
，α
2
，…，α
m
，β)； (1) 又因β不能由α
1
，α
2
，…，α
m-1
线性表示，有 r(α
1
，α
2
，…，α
m-1
)+1=r(α
1
，α
2
，…，α
m-1
，β)． (2) 那么 r(α
1
，α
2
，…，α
m
)[*]r(α
1
，α
2
，…，α
m
，β) ≥r(α
1
，α
2
，…，α
m-1
，β) (整体≥局部) [*]r(α
1
，α
2
，…，α
m-1
)+1 ≥r(α
1
，α
2
，…，α
m
)． (想一下何时取大于号?何时取等号?) 从而r(α
1
，α
2
，…，α
m-1
，β)=r(α
1
，α
2
，…，α
m
，β)，r(α
1
，α
2
，…，α
m-1
)+1=r(α
1
，α
2
，…，α
m
)，即α
m
可α
1
，α
2
，…，α
m-1
，β线性表示，而α
m
不能由α
1
，α
2
，…，α
m-1
线性表示．
解析
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考研数学三
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