2. 考研
  3. 设函数y=y(x)由方程ylny-x+y=0确定，试判断曲线y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性．

设函数y=y(x)由方程ylny-x+y=0确定，试判断曲线y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性．

admin2012-02-21  92
问题 设函数y=y(x)由方程ylny-x+y=0确定，试判断曲线y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性．
选项
答案将方程看成关于x的恒等式，两端对x求导数得 y’lny+y’-1+y’=0， 整理得 y’(2+lny)=1， (*) 在(*)式中令x=l，y=1可得y’(1)=1/2．将(*)式两端再对x求导数，得 y"(2+lny)+y’.y’/y=0 y"=-(y’)2/y(2+lny)． 在上式中令x=1，y=1,y’=1/2即得y"(1)=-1/8<0．由y“(x)的连续性知存在x=1的一个邻域，在此邻域中y"(x)<0，即曲线y=y(x)在点(1，1)附近是凸弧．
解析
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考研数学三

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