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证明r(A)=1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT,使A=abT
证明r(A)=1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT,使A=abT
admin
2016-05-31
35
问题
证明r(A)=1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量b
T
,使A=ab
T
选项
答案
充分性:设a=(a
1
,a
2
,…,a
m
)
T
,b=(b
1
,b
2
,…,b
m
)
T
,设a
1
b
1
≠0,根据矩阵秩的性质 r(AB)≤min{r(A),r(B)},因为A=ab
T
,所以r(A)≤r(a)=1. 另一方面,根据假设a
1
b
1
≠0可知,A的第一行第一列的元素a
1
b
1
≠0,所以r(A)≥1. 综上所述r(A)=1. 必要性:设A=(a
ij
)
m×n
,因r(A)=1,设a
11
≠0,由矩阵的等价可知,存在m阶可逆阵P和n 阶可逆阵Q,使 [*] 其中a=[*],b=(1,0,…,0)Q,并且两者依次为非零m维列向量和非零n维行向量,且有A=ab
T
成立.
解析
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考研数学三
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