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给定常数c＞0，定义函数f(x)=2｜x+c+4｜—｜x+c｜．数列a1，a2，a3，…满足an+1=f(an)，n∈N+． 是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列?若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．
给定常数c＞0，定义函数f(x)=2｜x+c+4｜—｜x+c｜．数列a1，a2，a3，…满足an+1=f(an)，n∈N+． 是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列?若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．
admin
2019-01-23
25
问题
给定常数c＞0，定义函数f(x)=2｜x+c+4｜—｜x+c｜．数列a
1
，a
2
，a
3
，…满足a
n+1
=f(a
n
)，n∈N
+
．
是否存在a
1
，使得a
1
，a
2
，…，a
n
，…成等差数列?若存在，求出所有这样的a
1
；若不存在，说明理由．
选项
答案
假设存在a
1
，使得a
1
，a
2
，…，a
n
，…成等差数列． 则由(1)及c＞0可得，a
n+1
＞a
n
即{a
n
}为无穷递增数列． 又因为{a
n
}为等差数列，所以存在正数N，当n＞N时，a
n
≥一c，此时a
n+1
=f(a
n
)=a
n
+c+8， 则公差d=c+8． ①当a
1
＜—c一4时，a
2
=f(a
1
)=—a
1
一c一8， 又因为a
2
=a
1
+d=a
1
+c+8，两式联立，得a
1
=一c一8，a
2
=0， 则当n≥2时，因为{a
n
}为无穷递增数列，故a
n
≥a
2
=0＞一c， 即当n≥2时，a
n+1
—a
n
=f(a
n
)—a
n
=c+8成立，又a
2
一a
1
=c+8， 故{a
n
}为无穷等差数列，首项a
1
=一c一8，公差d=c+8； ②当—c一4≤a
1
＜一c时，a
2
=f(a
1
)=3a
1
+3c+8， 又因为a
2
=a
1
+d=a
1
+c+8，两式联立，得a
1
=一c，a
2
=8，应舍去； ③当a
1
≥一c时，因为a
n
≥a
1
，则在n∈N
+
时，均有a
n+1
一a
n
=f(a
n
)一a
n
=c+8，故{a
n
}为无穷等差数列． 综上所述，存在a
1
，使得a
1
，a
2
，…，a
n
，…成等差数列，a
1
的取值范围为{一c一8}∪[一c，+∞)．
解析
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