设f(x)连续且=2，φ(x)=∫01f(xt)dt，求φ’(x)并讨论φ’(x)的连续性．

admin2018-06-27 21

问题设f(x)连续且

=2，φ(x)=∫₀¹f(xt)dt，求φ’(x)并讨论φ’(x)的连续性．

选项

答案φ(x)的表达式中，积分号内含参变量x，通过变量替换转化成变限积分． x≠0时，φ(x)=[*]∫₀¹f(xt)d(xt)[*]∫₀^xf(s)ds；x=0时，φ(0)=∫₀¹f(0)dt=f(0)．由f(x)在x=0连续及 [*] 因此 [*] 求φ’(x)即求这个分段函数的导数，x≠0时与变限积分求导有关，x=0时可按定义求导． [*] 因此 [*] 最后考察φ’(x)的连续性．显然，x≠0时φ’(x)连续，又 [*] 即φ’(x)在x=0也连续，因此φ’(x)处处连续．

解析

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考研数学二

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