2. 考研
  3. 设f(x)=∫0yg(t)dt． (1)证明y=f(x)为奇函数，并求其曲线的水平渐近线； (2)求曲线y=f(x)与它所有水平渐近线及y轴围成图形的面积．

设f(x)=∫0yg(t)dt． (1)证明y=f(x)为奇函数，并求其曲线的水平渐近线； (2)求曲线y=f(x)与它所有水平渐近线及y轴围成图形的面积．

admin2021-11-15  7
问题 设f(x)=∫0yg(t)dt．
(1)证明y=f(x)为奇函数，并求其曲线的水平渐近线；
(2)求曲线y=f(x)与它所有水平渐近线及y轴围成图形的面积．
选项
答案显然，g(0)=1，而当x≠0时，g(x)为“1∞”型未定式极限，则 [*] 其中 [*] 故不论x是否为零都有g(x)=e－x2，则f(x)=∫0xe－t2dt． (1)因令t=－u有f(－x)=∫0－xe－t2dt=－∫0xe－u2du=－f(x)，故f(x)为奇函数?因 [*] 故y=f(x)有两条水平渐近线 [*] (2)由所考虑的平面图形的对称性及分部积分法得所求的面积 [*] 其中，由洛必达法则得 [*] 而 ∫0+∞e－x2dx=－∫0+∞e－x2d(－x2)=(－e－x2)｜0+∞=1．
解析
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考研数学一

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