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  3. 设x∈(0，1)，证明：(1-x)ex＜

设x∈(0，1)，证明：(1-x)ex＜

admin2016-01-23  29
问题 设x∈(0，1)，证明：(1-x)ex＜
选项
答案因x∈(0，1)，不等式两边取对数，得 ln(1-x)+x＜xln(1-[*])． 令f(x)=xln(1-[*])-ln(1-x)-x，则 [*] 当x∈(0，1)时，f’’(x)＞0，故f’(x)单调增加，而f’(0)=0，于是有f’(x)＞f’(0)=0，即f(x)在区间(0，1)内单调增加．又f(0)=0，因此x∈(0，1)时，f(x)＞f(0)=0，即 xln(1-[*])-ln(1-x)-x＞0，亦即ln(1-x)+x＜xln(1-[*])， 从而有(1-x
解析 本题考查函数小等式的让明——见到函数不等式证明问题题，就要想到利用单调性证之，其方法步骤为
    简单移项作函数，认认真真求导数；
    搞清增减找定点，比较大小得归宿．
注意，移项构造辅助函数前，要先将不等式恒等变形，否则繁琐．
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考研数学一

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