若A和B都是n阶非零方阵，且AB=0，则A的秩必小于n( )．

admin2015-09-12 9

问题若A和B都是n阶非零方阵，且AB=0，则A的秩必小于n( )．

选项

答案“是”

解析证1 若r(A)=n，则A可逆，给AB=O两端左乘A^-1，得B=O，这与B≠O矛盾，故必有r(A)＜n．
证2 由AB=O知，矩阵B的每一列都是齐次方程组Ax=0的解，又B≠O，故方程组Ax=0有非零解，故必有∣A∣=0，即r(A)＜n．
本题主要考查满秩方阵(或可逆方阵)的性质．注意本题中的矩阵A为方阵．如果A为m×n矩阵(未必是方阵)且满足AB=O，其中B≠0，则类似证2，可以得出r(A)＜n的结论，但因为A可能不是方阵，所以对A不能论及可逆或不可逆的问题．

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考研数学三

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